Der Vier-Farben-Satz

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Der Vier-Farben-Satz (früher auch als Vier-Farben-Vermutung oder Vier-Farben-Problem bekannt) ist ein mathematischer Satz und besagt, dass vier Farben immer ausreichen, um eine beliebige Landkarte in der euklidischen Ebene so einzufärben, dass keine zwei angrenzenden Länder die gleiche Farbe bekommen. Der Satz findet Anwendung in der Graphentheorie, Topologie und Kartografie.

Dies gilt unter den Einschränkungen, dass ein gemeinsamer Punkt nicht als „Grenze“ zählt und jedes Land aus einer zusammenhängenden Fläche besteht, also keine Exklaven vorhanden sind. (Quelle Wikipedia.de)

Der Vier-Farben-Satz wurde bisher 'nur' mit Hilfe von Computern 'bewiesen'. Der folgende Beitrag versucht die Problematik des Vier-Farben-Satzes ohne mathematische Formeln darzustellen.

Als Beispiel könnte man beispielsweise versuchen, die Landkreise von Deutschland auf der folgenden Karte entsprechend zu färben.

Grundlagen

 

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Wie viele Länder können sich maximal direkt berühren, so dass alle Länder miteinander gemeinsame Grenzen haben?
Nachfolgend werden alle Fälle dargestellt, wobei sich natürlich die 'Form' der Länder von den gezeigten Beispielen unterscheiden können.

Ohne Zweifel können sich 2 Länder direkt berühren.
Ebenfalls auf den ersten Blick ersichtlich ist, dass wir auf jeden Fall 2 Farben brauchen.
Es gibt genau 2 Möglichkeiten bei denen sich entweder 1 oder 2 Länder an der Außengrenze befinden.

Auch 3 Länder können sich auf jeden Fall direkt berühren.
Da alle Länder 2 Nachbarländer haben brauchen wir 3 Farben.
Es gibt 3 verschiedene Möglichkeiten bei der sich entweder 1, 2 oder 3 Länder an der Außengrenze befinden.

Es ist auch möglich, dass sich 4 Länder direkt berühren, allerdings gibt es hier nur noch 2 Möglichkeiten.
Da jedes Land 3 Nachbarländer hat, brauchen wir 4 Farben.
An der Aussengrenze liegt wieder1, 2 oder 3 Länder.

 

Bild von NordNordWest von Wikimedia

 

 

Wird fortgesetzt (29.08.08)
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